Números complejos MAT-G11-DBA4

Los números complejos extienden el conjunto de los números reales para resolver ecuaciones sin raíces reales. Considérese x² + 1 = 0: en ℝ no existe solución, pues el cuadrado de cualquier real es no negativo. Se introduce entonces la unidad imaginaria i, definida por i² = −1, y se obtiene un nuevo sistema numérico, denotado ℂ, que satisface ℝ ⊂ ℂ porque todo real r corresponde al complejo r + 0i.

Un número complejo z se expresa en forma rectangular como z = a + bi, donde a y b son reales. El componente a se denomina parte real, Re(z) = a, y el componente b se denomina parte imaginaria, Im(z) = b. Dos complejos son iguales únicamente cuando coinciden tanto su parte real como su parte imaginaria.

El conjugado de z = a + bi se define como z̄ = a − bi y corresponde a la reflexión de z respecto del eje real. El módulo se denota |z| y se calcula como |z| = √(a² + b²), magnitud que coincide con la distancia del punto (a, b) al origen. El argumento, arg(z) = θ, es el ángulo medido desde el eje real positivo hasta el segmento que une el origen con z; satisface tan θ = b/a con la corrección de cuadrante apropiada.

A partir del módulo y el argumento se obtiene la forma polar z = r(cos θ + i sin θ), con r = |z|. Esta representación facilita la multiplicación: el producto de dos complejos multiplica módulos y suma argumentos.

El plano de Argand representa cada complejo z = a + bi como el punto (a, b), o equivalentemente como un vector desde el origen. La suma se interpreta como suma vectorial; la multiplicación combina escalamiento por módulo con rotación por argumento.

Sea z = 3 + 4i: parte real 3, parte imaginaria 4, módulo |z| = √(9 + 16) = 5, conjugado z̄ = 3 − 4i. El argumento satisface tan θ = 4/3, de donde θ ≈ 53.13°, y la forma polar resulta z = 5(cos 53.13° + i sin 53.13°). El producto con w = 1 − 2i queda z · w = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i.

El producto de un complejo por su conjugado siempre da un real no negativo: z · z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² + b² = |z|². Esta identidad permite racionalizar cocientes multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Práctica

Dado z₁ = 2 + 3i y z₂ = 1 − i, calcula z₁ + z₂, z₁ · z₂, z₁ / z₂ y el módulo de z₁. Muestra los pasos.

La suma es z₁ + z₂ = 3 + 2i. El producto, aplicando i² = −1, queda z₁ · z₂ = (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 5 + i. Para el cociente, multiplica por el conjugado del denominador: z₁/z₂ = (2 + 3i)(1 + i) / ((1 − i)(1 + i)) = (−1 + 5i)/2. El módulo es |z₁| = √13.

Demuestra que el producto de un número complejo z por su conjugado z̄ es siempre un real no negativo. ¿Qué representa geométricamente?

Sea z = a + bi. El producto es z · z̄ = a² − abi + abi − b²i² = a² + b². La parte imaginaria se cancela y queda un real no negativo. Geométricamente, a² + b² = |z|² es el cuadrado de la distancia de z al origen en el plano de Argand.

Según el plano de Argand de arriba, identifica módulo y argumento de z = 3 + 4i. Ubica −z y z̄ en el mismo plano. ¿Cómo se relacionan los tres puntos?

El módulo es |z| = 5 y el argumento θ ≈ 53.13°. El conjugado z̄ = 3 − 4i aparece reflejado sobre el eje real, en (3, −4). El opuesto −z = −3 − 4i corresponde a la reflexión de z respecto del origen, en (−3, −4). Los tres puntos quedan sobre un círculo de radio 5 centrado en el origen, pues comparten módulo aunque difieren en argumento.