Derivadas MAT-G11-DBA5

La derivada mide la razón de cambio instantánea de una función con respecto a su variable independiente y constituye la herramienta central del cálculo diferencial. Para una función f definida y continua en un intervalo abierto que contiene a x, la derivada se define formalmente como el límite del cociente incremental cuando el incremento h tiende a cero:

La derivada admite las notaciones equivalentes f'(x) y dy/dx. Cuando el límite existe en x, se dice que f es función derivable en ese punto. Geométricamente, f'(x) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en (x, f(x)), es decir, el valor límite de las pendientes secantes cuando h se aproxima a cero. La diferenciabilidad implica continuidad, pero el recíproco falla: f(x) = |x| es continua y no derivable en x = 0, pues las pendientes secantes por la izquierda y por la derecha discrepan.

Las reglas de derivación sistematizan el cálculo de derivadas sin aplicar la definición cada vez. La regla de la potencia establece (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ para todo n real. La regla del producto afirma que (fg)' = f'g + fg'; por ejemplo, (x² · sin x)' = 2x sin x + x² cos x. La regla del cociente establece (f/g)' = (f'g − fg')/g² siempre que g sea no nula; aplicada a sin x / x, produce (cos x · x − sin x)/x². La regla de la cadena se aplica a composiciones: si y = f(g(x)), entonces dy/dx = f'(g(x)) · g'(x); por ejemplo, (sin(x²))' = cos(x²) · 2x.

Las derivadas de funciones trascendentes elementales se memorizan: (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x; (eˣ)' = eˣ; (ln x)' = 1/x para x positivo. Combinadas con las reglas anteriores, permiten derivar prácticamente cualquier expresión cerrada.

Las derivadas de orden superior se obtienen derivando repetidamente. Para f(x) = x³ − 3x + 1, se calcula f'(x) = 3x² − 3, f''(x) = 6x y f'''(x) = 6. Los puntos críticos son aquellos donde f'(x) = 0 o f' no existe; en este ejemplo los puntos críticos satisfacen 3x² − 3 = 0, de donde x = ±1. El criterio de la segunda derivada confirma que x = 1 es mínimo local, pues f''(1) = 6 es positivo, y que x = −1 es máximo local, pues f''(−1) = −6 es negativo. Las derivadas tienen aplicaciones directas en física, donde la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo y la aceleración es la derivada segunda.

Práctica

Calcula la derivada de y = (3x² + 1)⁵ aplicando la regla de la cadena. Identifica función externa, función interna, deriva cada una y combina.

La función externa es u⁵ con u = 3x² + 1 (función interna). Las derivadas parciales son d/du (u⁵) = 5u⁴ y d/dx (3x² + 1) = 6x. La regla de la cadena combina ambas: dy/dx = 5u⁴ · 6x = 30x (3x² + 1)⁴. El resultado se expresa íntegramente en la variable original sin dejar u.

Demuestra usando la definición que la derivada de f(x) = x² es f'(x) = 2x. Plantea el cociente incremental, simplifica y calcula el límite paso a paso.

El cociente incremental es (f(x + h) − f(x))/h = ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h. Al tomar el límite cuando h tiende a cero, el término h se anula y queda f'(x) = 2x. Esto recupera la regla de la potencia para n = 2 sin invocarla, partiendo solo de la definición.

Según la gráfica de f(x) = x³ − 3x + 1 de arriba, identifica los dos puntos críticos y clasifica cada uno como máximo o mínimo local. Justifica con el signo de la segunda derivada.

Los puntos críticos cumplen f'(x) = 3x² − 3 = 0, de donde x = ±1. En x = −1 la segunda derivada vale f''(−1) = −6, negativo, por lo que se trata de un máximo local en (−1, 3). En x = 1 la segunda derivada vale f''(1) = 6, positivo, por lo que se trata de un mínimo local en (1, −1). Las tangentes en ambos puntos son horizontales, como muestra la gráfica.