Estadística y probabilidad avanzada MAT-G11-DBA3

La estadística y la probabilidad avanzadas profundizan en los modelos de distribuciones continuas y en los procedimientos formales de inferencia. La distribución normal estándar es la distribución normal con media cero y desviación estándar uno, denotada Z ~ N(0, 1). Su gráfica es la curva acampanada simétrica respecto al eje vertical, con máximo en z = 0 y colas que se extienden indefinidamente.

Cualquier variable aleatoria X que sigue N(μ, σ²) se transforma a la distribución estándar mediante la puntuación z, también llamada estandarización, definida por z = (x − μ)/σ. La puntuación z mide cuántas desviaciones estándar separa un valor x de la media μ. La regla empírica en unidades z afirma que P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0.68, P(−1.96 ≤ Z ≤ 1.96) ≈ 0.95 y P(−3 ≤ Z ≤ 3) ≈ 0.997.

Por ejemplo, si las puntuaciones de un examen siguen N(75, 100), un estudiante con puntuación 90 tiene z = (90 − 75)/10 = 1.5; la tabla de la normal estándar entrega P(Z ≤ 1.5) ≈ 0.9332, por lo que aproximadamente el 93.32% de los estudiantes obtuvo puntuación inferior.

El intervalo de confianza estima un parámetro poblacional desconocido a partir de una muestra. Al nivel de confianza del 95%, el intervalo para la media se construye como x̄ ± 1.96 · σ/√n; el valor 1.96 corresponde al percentil de la normal estándar tal que la banda central acumula el 95% de la probabilidad. Repitiendo el procedimiento, el 95% de los intervalos construidos contendrá la verdadera media.

Una prueba de hipótesis confronta dos afirmaciones competidoras sobre un parámetro: la hipótesis nula H₀, que representa el supuesto por defecto, y la hipótesis alternativa H₁, que recoge la afirmación a evidenciar. El valor p es la probabilidad de observar datos al menos tan extremos como los de la muestra bajo el supuesto de que H₀ es verdadera. Cuando el valor p es menor que un nivel de significancia α prefijado (típicamente 0.05), se rechaza H₀ en favor de H₁.

La probabilidad condicional cuantifica la probabilidad de un evento A dado que ocurrió B mediante P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) cuando P(B) es positiva. Dos eventos son estadísticamente independientes cuando P(A ∩ B) = P(A) · P(B), equivalente a P(A | B) = P(A). La regla de Bayes invierte la condicionalidad como corolario directo.

Práctica

Las alturas de un grupo de adultos siguen N(170, 64), es decir μ = 170 cm y σ = 8 cm. Calcula la puntuación z de 184 cm y la proporción aproximada de adultos con altura entre 162 y 178 cm.

La puntuación z para x = 184 es z = (184 − 170)/8 = 1.75, lo que indica una altura 1.75 desviaciones estándar por encima de la media. Para el intervalo [162, 178], se obtienen z = −1 y z = 1, por lo que la regla empírica entrega P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0.68; aproximadamente el 68% de los adultos del grupo tiene altura en ese rango.

Explica la diferencia entre H₀ y H₁ en una prueba de hipótesis. Si el valor p es 0.03 y α = 0.05, ¿qué decisión se toma y cómo se justifica?

La hipótesis nula H₀ representa el supuesto por defecto que se confronta con los datos, mientras que la hipótesis alternativa H₁ recoge la afirmación a evidenciar. Como el valor p de 0.03 es inferior al nivel de significancia α = 0.05, se rechaza H₀ en favor de H₁: los datos resultan suficientemente improbables bajo H₀ como para considerar plausible la alternativa.

Según la curva normal estándar de arriba con banda 95% sombreada entre z = −1.96 y z = 1.96, identifica qué porcentaje de datos cae FUERA de la banda y relaciónalo con α = 0.05.

La banda sombreada concentra el 95% del área bajo la curva, así que el porcentaje fuera de la banda es 100% − 95% = 5%, distribuido simétricamente: 2.5% en la cola izquierda (z menor que −1.96) y 2.5% en la cola derecha (z mayor que 1.96). Este 5% corresponde exactamente al nivel de significancia α = 0.05 en una prueba de hipótesis bilateral con los puntos críticos z = ±1.96.