Geometría analítica avanzada MAT-G11-DBA2

Las secciones cónicas son las curvas que resultan al intersectar un plano con un doble cono. Las tres familias canónicas son la parábola, la elipse y la hipérbola; el círculo es el caso particular de elipse con semiejes iguales. Cada cónica admite una forma canónica cuando el centro coincide con el origen y los ejes principales son paralelos a los ejes coordenados.

La parábola con vértice en el origen y eje horizontal tiene ecuación y² = 4px, donde p es la distancia del vértice al foco. La directriz es la recta perpendicular al eje, al otro lado del vértice a la misma distancia |p|. Todo punto de la parábola equidista del foco y de la directriz; esta propiedad la caracteriza geométricamente.

La elipse centrada en el origen con eje mayor horizontal tiene ecuación x²/a² + y²/b² = 1 con a ≥ b ≠ 0. El parámetro a es el semieje mayor y b el semieje menor. Los focos se ubican en (±c, 0), con c² = a² − b². La excentricidad e = c/a satisface 0 ≤ e ≠ 1: cuando e = 0 la elipse degenera en círculo y valores cercanos a 1 producen elipses muy estiradas. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es constante e igual a 2a.

La hipérbola centrada en el origen con eje transverso horizontal tiene ecuación x²/a² − y²/b² = 1. El parámetro a recibe el nombre de semieje transverso. Los focos están en (±c, 0) con c² = a² + b², y las dos ramas se aproximan a las asíntotas y = ±(b/a)x cuando |x| crece. La excentricidad satisface e ≠ 1 con e mayor que 1; la diferencia de distancias de cualquier punto a los focos es constante e igual a 2a en valor absoluto.

Cuando el centro se ubica en (h, k), las ecuaciones se obtienen sustituyendo x por (x − h) y y por (y − k). La rotación de los ejes se posterga al estudio universitario. Por ejemplo, la elipse 9x² + 25y² = 225 se reduce a x²/25 + y²/9 = 1 dividiendo entre 225, de donde a = 5, b = 3, c = 4, focos en (±4, 0) y excentricidad e = 0.8.

Práctica

Dada la elipse 9x² + 25y² = 225, llévala a forma canónica e identifica a, b, c, focos y excentricidad.

Dividiendo entre 225 queda x²/25 + y²/9 = 1, con a² = 25 y b² = 9; por tanto a = 5 (semieje mayor) y b = 3 (semieje menor). Se cumple c² = a² − b² = 16, de donde c = 4. Los focos están en (±4, 0) sobre el eje mayor y la excentricidad es e = c/a = 0.8, valor cercano a 1 que indica una elipse alargada.

Argumenta por qué la excentricidad de la elipse satisface 0 ≤ e ≠ 1 y la de la hipérbola e ≠ 1. ¿Qué representa cada caso límite?

En la elipse c² = a² − b² ≤ a², por lo que c ≤ a y e = c/a queda entre 0 y 1. Cuando e = 0 los focos coinciden con el centro y la elipse degenera en un círculo de radio a. En la hipérbola c² = a² + b² supera a², así que c es mayor que a y e supera 1. Valores cercanos a 1 producen ramas estrechas que casi se tocan; valores grandes producen ramas muy abiertas.

Según el diagrama de arriba, identifica cuál cónica tiene asíntotas. ¿Qué pendiente tienen si los semiejes son a = 4 y b = 3?

La hipérbola es la única cónica con asíntotas; en el diagrama aparecen como rectas punteadas por el origen. Para x²/a² − y²/b² = 1 con a = 4 y b = 3, las asíntotas son y = ±(b/a)x = ±(3/4)x, es decir pendientes 3/4 y −3/4. Las ramas se aproximan a estas rectas sin tocarlas.