Cálculo integral introductorio MAT-G11-DBA1

El cálculo integral estudia la acumulación de cantidades y el área bajo curvas, y constituye la operación inversa de la diferenciación. Una antiderivada de una función f es una función F que satisface F'(x) = f(x); por ejemplo, F(x) = x³/3 es una antiderivada de f(x) = x². Si F es antiderivada de f, también lo es F(x) + C para cualquier constante C, pues la derivada de una constante es cero.

La integral indefinida denota la familia completa de antiderivadas: ∫ f(x) dx = F(x) + C, donde C es la constante de integración. Cada elección de C corresponde a una antiderivada distinta; geométricamente, las gráficas de F(x) + C son traslaciones verticales unas de otras.

La integral definida ∫_a^b f(x) dx introduce dos bordes a y b llamados límites de integración. Cuando f es continua y no negativa sobre [a, b], la integral definida representa el área bajo la curva y = f(x) entre x = a y x = b. Si f cambia de signo, el resultado se interpreta como área con signo. Esta interpretación geométrica conecta el cálculo integral con problemas de medición acumulativa: distancia a partir de velocidad, trabajo a partir de fuerza, masa a partir de densidad.

El teorema fundamental del cálculo establece la conexión esencial entre diferenciación e integración. Su forma computacional afirma que, si F es cualquier antiderivada de f sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida se evalúa como F(b) − F(a). En notación con f' como integrando:

Las reglas de integración se obtienen invirtiendo las reglas de derivación. La regla de la potencia para integrales establece ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C cuando n es distinto de −1. La suma de integrales separa términos: ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx. Los múltiplos constantes salen del signo: ∫ c f dx = c ∫ f dx. Las integrales de funciones trascendentes elementales se memorizan: ∫ sin x dx = −cos x + C; ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ eˣ dx = eˣ + C; ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.

Como aplicación, calcúlese ∫_0^2 x² dx. Una antiderivada de x² es F(x) = x³/3; aplicando el TFC se obtiene F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.67. Esta cantidad representa el área bajo la parábola y = x² entre x = 0 y x = 2.

Práctica

Calcula la integral definida ∫₁³ (2x + 1) dx. Identifica primero una antiderivada y luego aplica el TFC evaluando F(3) − F(1). Muestra los pasos.

Una antiderivada de 2x + 1 es F(x) = x² + x, ya que F'(x) = 2x + 1. Aplicando el TFC se evalúa F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10. Por consiguiente, ∫₁³ (2x + 1) dx = 10, valor que coincide con el área bajo la recta y = 2x + 1 sobre el intervalo [1, 3].

Argumenta intuitivamente el teorema fundamental del cálculo. ¿Por qué integrar f' sobre [a, b] recupera f(b) − f(a)? Refiere la interpretación de la derivada como razón de cambio.

La derivada f'(x) describe la razón instantánea con la que f cambia en x. Sumar infinitesimalmente esas razones de cambio sobre [a, b], es decir, integrar f' sobre el intervalo, equivale a acumular todas las pequeñas variaciones que sufre f desde a hasta b. La acumulación total es exactamente el cambio neto f(b) − f(a). Así, el TFC traduce la suma continua de cambios infinitesimales al cambio observable entre extremos.

Según el área sombreada bajo y = x² entre 0 y 2 de arriba, justifica que ∫₀² x² dx = 8/3. Verifica el resultado aplicando el TFC con la antiderivada F(x) = x³/3.

La región sombreada corresponde geométricamente a la integral definida de x² sobre [0, 2]. Aplicando el TFC con F(x) = x³/3 se evalúa F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.67, en unidades de área. El valor numérico coincide con la cantidad anotada sobre la región sombreada y confirma la conexión entre la antiderivada y el área bajo la curva.