Proporcionalidad MAT-G7-DBA4

La proporcionalidad estudia las relaciones entre magnitudes que varían juntas. Existen dos tipos fundamentales: la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa. Identificar el tipo correcto es el primer paso para resolver cualquier problema proporcional, ya que cada caso utiliza un procedimiento diferente.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si su cociente permanece constante. Si y/x = k para todo par de valores correspondientes, entonces y y x varían en proporción directa, y k recibe el nombre de constante de proporcionalidad. Cuando una magnitud se multiplica por un número, la otra se multiplica por el mismo número. Ejemplos cotidianos incluyen el precio total y la cantidad comprada de un producto, o la distancia recorrida y el tiempo a velocidad constante.

En cambio, dos magnitudes son inversamente proporcionales si su producto permanece constante: xy = k. Cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye en la misma proporción. Casos típicos son el número de trabajadores y el tiempo necesario para completar una obra, o la velocidad y el tiempo de un recorrido fijo.

Para resolver problemas se utiliza la regla de tres, que tiene dos variantes según el tipo de proporcionalidad. Si 3 kg de arroz cuestan $9000, ¿cuánto cuestan 5 kg? Las magnitudes varían de forma directa: a mayor peso, mayor precio. Se aplica la regla de tres directa: x = (5 × 9000)/3 = $15000. Si 4 trabajadores demoran 6 horas en pintar una casa, ¿cuánto demoran 8 trabajadores? Las magnitudes varían de forma inversa: a más trabajadores, menos tiempo. Se aplica la regla de tres inversa: x = (4 × 6)/8 = 3 horas. La diferencia clave reside en si las cantidades correspondientes se multiplican cruzadas (directa) o en línea (inversa).

Práctica

Si 7 manzanas cuestan $14000, ¿cuánto cuestan 12 manzanas? Identifica el tipo de proporcionalidad, plantea la regla de tres y resuelve paso a paso.

A mayor cantidad de manzanas, mayor precio, por lo tanto las magnitudes son directamente proporcionales. Aplicando la regla de tres directa: x = (12 × 14000)/7 = 168000/7 = $24000. La constante de proporcionalidad k = 14000/7 = 2000, es decir, $2000 por manzana.

Explica por qué en una proporcionalidad inversa, si una magnitud se duplica, la otra se reduce a la mitad. Justifica usando la definición xy = k.

Si xy = k y x se reemplaza por 2x, el producto debe seguir igual a k. Entonces (2x)·y' = k, de donde y' = k/(2x) = y/2. La nueva magnitud es la mitad de la original. Esto confirma que duplicar x obliga a y a reducirse a la mitad para conservar el producto constante.

Según el diagrama de arriba, identifica el tipo de proporcionalidad ilustrado en cada sección y argumenta usando las barras y la tabla.

La sección superior muestra proporcionalidad directa: al aumentar los kilos las barras crecen y el cociente precio/peso permanece estable en 3000. La sección inferior muestra proporcionalidad inversa: cuatro trabajadores en seis horas y ocho trabajadores en tres horas comparten el mismo producto, igual a 24 horas-trabajador.