Geometría analítica básica MAT-G7-DBA3

La geometría analítica combina álgebra y geometría usando el plano cartesiano para describir figuras mediante coordenadas. Cada punto se representa por un par ordenado (x, y). A partir de dos puntos se calculan tres elementos fundamentales: la distancia, la pendiente de la recta que los une y la ecuación de esa recta.

La distancia entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por el segmento y sus proyecciones. La fórmula es d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). Para A(2, 3) y B(5, 7), d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²) = √25 = 5. Las dos diferencias representan los catetos.

La pendiente de una recta, denotada con la letra m, mide la inclinación respecto al eje horizontal. Se calcula como el cociente entre el cambio vertical y el cambio horizontal: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Para los mismos puntos A y B, m = (7 - 3)/(5 - 2) = 4/3. Una pendiente positiva indica que la recta sube; una negativa, que baja; cuando m = 0 la recta es horizontal.

La ecuación de la recta en forma pendiente-intercepto es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el intercepto con el eje y (el valor de y cuando x es cero). Para hallar b dada la pendiente y un punto, se sustituye el punto y se despeja. Con m = 4/3 y A(2, 3): 3 = (4/3)(2) + b, de donde b = 1/3. La ecuación final es y = (4/3)x + 1/3.

Práctica

Calcula la pendiente y la distancia entre los puntos C(-2, 1) y D(4, 9). Aplica las fórmulas de la pendiente y la distancia paso a paso.

La pendiente se calcula como m = (9 - 1)/(4 - (-2)) = 8/6 = 4/3. Para la distancia, los catetos miden 4 - (-2) = 6 y 9 - 1 = 8. Aplicando Pitágoras: d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. La distancia entre C y D es 10 unidades.

Explica por qué una recta vertical, paralela al eje y, no tiene pendiente definida. Justifica usando la fórmula de la pendiente.

En una recta vertical, todos los puntos tienen la misma abscisa, por lo que x₂ - x₁ = 0. La fórmula m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) requiere dividir entre cero, operación no definida en ℚ. Por eso la pendiente de una recta vertical no existe.

Según la gráfica de arriba, identifica la pendiente de la recta que pasa por A y B usando el triángulo punteado. Indica también la ecuación de la recta en forma pendiente-intercepto.

El triángulo punteado tiene cateto horizontal 3 y vertical 4, por lo que la pendiente es 4/3. Sustituyendo A(2, 3) en y = (4/3)x + b se despeja b = 1/3. La ecuación es y = (4/3)x + 1/3.