Probabilidad MAT-G7-DBA5

La probabilidad es la rama de la matemática que cuantifica la frecuencia de ocurrencia de los eventos aleatorios. Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de realizarlo. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral y se denota con la letra griega Ω.

Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, una colección de resultados que comparten una característica. Cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables, la probabilidad clásica de un evento A se calcula con el cociente entre los resultados favorables y los resultados totales: P(A) = (resultados favorables a A) / (resultados totales del espacio muestral). Toda probabilidad satisface 0 ≤ P(A) ≤ 1, donde 0 indica imposibilidad y 1 indica certeza.

Considera el experimento de lanzar un dado justo de seis caras. El espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, con seis resultados posibles. El evento "obtener un número par" se define como A = {2, 4, 6}, con tres resultados favorables. La probabilidad es P(A) = 3/6 = 1/2. Análogamente, el evento "obtener un número mayor o igual a 5" corresponde a B = {5, 6}, con dos resultados favorables, por lo que P(B) = 2/6 = 1/3.

Cuando dos eventos no comparten ningún resultado, se dicen mutuamente excluyentes, y la probabilidad de que ocurra uno u otro se obtiene sumando: P(A o B) = P(A) + P(B). Si los eventos comparten resultados, esta fórmula sobrecuenta los casos comunes y requiere un ajuste que se estudia en grados posteriores. Para experimentos compuestos por varias etapas independientes, el árbol de probabilidad ofrece una representación visual de todos los resultados.

Práctica

Calcula la probabilidad de obtener un número mayor o igual a 5 al lanzar un dado de seis caras. Identifica el espacio muestral, el evento, y aplica la fórmula clásica paso a paso.

El espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, con seis resultados. El evento "número ≥ 5" corresponde al conjunto {5, 6}, con dos resultados favorables. Aplicando la fórmula clásica: P(A) = 2/6 = 1/3. La probabilidad es un tercio.

Explica por qué la probabilidad de cualquier evento siempre satisface 0 ≤ P(A) ≤ 1. Argumenta usando la definición clásica.

El número de resultados favorables no puede ser negativo, así que P(A) ≥ 0. Tampoco puede exceder el total de resultados del espacio muestral, así que el cociente nunca supera 1. Por eso toda probabilidad clásica cae en el intervalo cerrado entre cero y uno.

Según el árbol de probabilidad de arriba, calcula la probabilidad de obtener al menos una cara al lanzar dos monedas. Identifica los resultados favorables y suma sus probabilidades.

Los resultados favorables son CC, CS y SC, todos con probabilidad 1/4. La suma es 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. La probabilidad de obtener al menos una cara es 3/4. El único resultado descartado es SS, con probabilidad 1/4.