Transformaciones geométricas MAT-G7-DBA6

Las transformaciones geométricas son operaciones que se aplican a figuras del plano para modificar su posición, su orientación o su tamaño. Se clasifican en dos grandes grupos: rígidas y no rígidas. Las transformaciones rígidas — traslación, rotación y reflexión — preservan las longitudes y los ángulos de la figura original; solo cambian su ubicación o su orientación. Las transformaciones no rígidas, como la homotecia o dilatación, modifican el tamaño aunque conservan la forma.

Una traslación desplaza cada punto la misma distancia en la misma dirección, definida por un vector (a, b). Aplicando la traslación (2, 0) al triángulo de vértices A(1, 1), B(3, 1), C(2, 3), cada vértice se mueve 2 unidades a la derecha: A' = (3, 1), B' = (5, 1), C' = (4, 3). El triángulo resultante es congruente al original.

Una rotación gira la figura alrededor de un punto fijo, llamado centro, según un ángulo dado. Una rotación de 90° antihoraria alrededor del origen transforma cada punto (x, y) en (-y, x). El punto (3, 0) se transforma en (0, 3); el punto (0, 2) pasa a (-2, 0). Las distancias al centro se conservan, por lo que la figura mantiene su tamaño.

Una reflexión actúa como un espejo a lo largo de una recta, llamada eje de reflexión. La reflexión sobre el eje y envía cada punto (x, y) a (-x, y); la reflexión sobre el eje x lo envía a (x, -y). Las distancias se preservan, pero la orientación se invierte: una figura que apunta a la derecha apunta a la izquierda tras reflejarse.

Práctica

Aplica una traslación de vector (-3, 2) al punto P(5, -1). Calcula las coordenadas del punto resultante P' y justifica usando la definición de traslación.

La traslación suma componente a componente: P' = (5 + (-3), -1 + 2) = (2, 1). Cada coordenada del punto original se desplaza según el vector dado: 3 unidades a la izquierda en x y 2 unidades hacia arriba en y. La distancia y orientación con otros puntos se preservan.

Explica por qué una reflexión preserva las distancias entre puntos pero invierte la orientación de la figura. Argumenta usando la definición de reflexión sobre un eje.

La reflexión mapea cada punto a su simétrico respecto al eje, conservando la distancia perpendicular al eje. Por construcción, dos puntos cualesquiera mantienen la misma distancia entre sí tras reflejarse. Sin embargo, el orden de recorrido del contorno se invierte: una orientación horaria pasa a antihoraria. Por eso la figura aparece como una imagen especular.

Según el diagrama de arriba, identifica qué transformación se aplicó al triángulo punteado para obtener el triángulo amarillo en cada panel. Justifica observando la posición y la orientación.

En el primer panel, una traslación horizontal según el vector (2, 0) mueve el triángulo hacia la derecha. En el segundo panel, una rotación de 90° antihoraria sobre el origen cambia la orientación del triángulo. En el tercer panel, una reflexión sobre el eje vertical produce la imagen especular del original.