Álgebra introductoria MAT-G7-DBA2

El álgebra usa letras llamadas variables para representar cantidades desconocidas o generales. Una expresión algebraica es una combinación de números, variables y operaciones que no contiene un signo de igualdad. Por ejemplo, 2x + 3, 3x² - 2x + 1 y (x + 3)(x - 2) son expresiones algebraicas en la variable x.

En cada término se distinguen dos partes. El número que multiplica a la variable se llama coeficiente, y el número sin variable se llama término constante. En 3x + 5, el coeficiente de x es 3 y el término constante es 5. Los términos que comparten la misma variable elevada al mismo exponente se llaman semejantes y se combinan sumando sus coeficientes: 3x + 5 - 2x = (3 - 2)x + 5 = x + 5.

Una ecuación lineal es una igualdad entre dos expresiones donde la variable aparece elevada al exponente uno. El valor de la variable que hace verdadera la igualdad se llama solución o incógnita despejada. Para resolver 2x + 3 = 11 se aplica la misma operación a ambos lados, conservando la igualdad: se resta 3 a ambos miembros y se obtiene 2x = 8; luego se divide entre 2 y resulta x = 4. La verificación consiste en sustituir: 2(4) + 3 = 11, lo cual confirma la solución.

Una desigualdad es una relación entre dos expresiones que se compara con los símbolos ≤, ≥ o ≠. Para resolver 2x + 5 ≤ 11 se procede igual que con una ecuación: se resta 5 a ambos lados (2x ≤ 6) y se divide entre 2 (x ≤ 3). Cuando se multiplica o divide por un número negativo, la dirección del símbolo se invierte.

Práctica

Resuelve la ecuación 3x - 7 = 8 paso a paso. Primero suma 7 a ambos lados, luego divide entre 3 y verifica la solución.

Sumando 7 a ambos lados se obtiene 3x = 15. Dividiendo entre 3 resulta x = 5. La verificación consiste en sustituir: 3(5) - 7 = 15 - 7 = 8, lo cual confirma la igualdad. La solución de la ecuación es x = 5.

Explica por qué la ecuación 0x = 5 no tiene solución. Justifica usando la definición de multiplicación.

La ecuación 0x = 5 no tiene solución porque cualquier número multiplicado por cero da cero, y cero nunca es igual a 5. No existe ningún valor de x que satisfaga esta igualdad. Por eso se dice que la ecuación carece de solución en ℚ.

Según el diagrama de tiles de arriba, la expresión representada es 2x + 3. Si esta expresión se iguala a 7, calcula el valor de x y describe el razonamiento con el diagrama.

Si 2x + 3 = 7, se restan tres unidades a ambos lados, equivalente a retirar los tres tiles pequeños y dejar 2x = 4. Dividiendo entre dos x-tiles se obtiene x = 2. Cada tile rectangular vale dos unidades.