Números racionales MAT-G7-DBA1

Los números racionales son todos los que pueden expresarse como una fracción a/b, donde a y b son enteros y el denominador b es distinto de cero. Este conjunto se denota con la letra ℚ y amplía la colección de enteros estudiada en Grado 6.

El conjunto ℚ incluye varios tipos de representación. Cada entero es racional, porque se escribe como fracción con denominador uno: 5 = 5/1 y -3 = -3/1. Las fracciones simples como 1/2 y 7/8 son racionales evidentes. Las negativas como -3/4 y -11/5 también pertenecen a ℚ. Toda representación decimal finita se reescribe como racional: 0.5 = 1/2, -0.7 = -7/10, 2.5 = 5/2. Las decimales periódicas, como 0.333..., también son racionales, pues se obtienen como cociente exacto de dos enteros.

Para operar con racionales se preservan las reglas estudiadas con fracciones positivas, agregando el manejo de signos heredado de los enteros. Para sumar -3/4 + 1/2, se busca el mínimo común denominador, que es 4. Se reescribe 1/2 = 2/4 y se aplica la regla de signos: -3/4 + 2/4 = -1/4. Para multiplicar (-2) × (3/5), se multiplican numeradores y denominadores conservando el signo: (-2 × 3)/(1 × 5) = -6/5. La división se transforma en multiplicación por el inverso: (3/4) ÷ (-2/5) = (3/4) × (-5/2) = -15/8.

Una propiedad fundamental de ℚ se observa en la recta numérica: entre dos racionales distintos siempre existe otro racional. Por ejemplo, entre 0 y 1/2 está 1/4, y entre 1/4 y 1/2 está 3/8. Esta propiedad de densidad distingue a ℚ de los enteros, donde entre dos números consecutivos no existe ningún otro entero.

Práctica

Calcula -5/6 + 1/3 paso a paso. Primero encuentra el mínimo común denominador, luego reescribe ambas fracciones y suma los numeradores aplicando la regla de signos.

El mínimo común denominador de 6 y 3 es 6. Se reescribe 1/3 = 2/6. Como los signos son distintos, se restan los valores absolutos: |-5/6| - |2/6| = 5/6 - 2/6 = 3/6, y se conserva el signo del mayor valor absoluto. Por lo tanto, -5/6 + 1/3 = -3/6 = -1/2.

Explica por qué cualquier número entero también es un número racional. Da un ejemplo concreto y justifica usando la definición de ℚ.

Todo entero se escribe como una fracción con denominador igual a uno, que es un entero distinto de cero. Por ejemplo, el entero 7 se expresa como 7/1, lo cual cumple la definición de número racional. Por la misma razón, -4 = -4/1 también pertenece a ℚ. En consecuencia, ℤ está contenido dentro de ℚ.

Según la recta numérica de arriba, ¿qué número racional está exactamente entre -1 y 0 y a igual distancia de ambos? Identifícalo en la recta y expresa su valor como fracción y como decimal.

El punto medio entre -1 y 0 es -1/2. Se ubica en la recta exactamente a media unidad del cero, en el lado negativo. Como fracción es -1/2 y como decimal es -0.5. Ambos representan el mismo racional.