Teorema de Pitágoras MAT-G8-DBA3

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Los dos lados adyacentes al ángulo recto se denominan catetos y se etiquetan como a y b. El lado opuesto al ángulo recto, siempre el más largo, se denomina hipotenusa y se etiqueta como c. La relación se expresa con la fórmula a² + b² = c².

El teorema es bidireccional. La forma directa permite calcular un lado desconocido cuando los otros dos son conocidos. La forma inversa, llamada recíproco del teorema, afirma que si en un triángulo se cumple a² + b² = c² para algún arreglo de sus lados, entonces el triángulo es rectángulo. Esta bidireccionalidad lo convierte en herramienta para verificar si un triángulo es rectángulo a partir solo de sus medidas.

Considérese un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 unidades. Se aplica el teorema: 3² + 4² = c². Se calcula 9 + 16 = 25, de donde c² = 25 y por lo tanto c = √25 = 5. La hipotenusa mide 5 unidades. Este es el clásico triángulo 3-4-5, una terna pitagórica frecuente en construcción y diseño.

En contraste, un triángulo cuyos catetos miden ambos 1 tiene hipotenusa c = √(1² + 1²) = √2. El lector observa que √2 es un número irracional, pues no se expresa como fracción de dos enteros. Este descubrimiento, atribuido a los pitagóricos, llevó a reconocer la existencia de números más allá de los racionales y abrió el camino hacia los números reales.

Práctica

Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 8 cm y una hipotenusa de 10 cm. Calcula la longitud del otro cateto paso a paso aplicando el teorema de Pitágoras.

Se denota el cateto desconocido como b. La fórmula a² + b² = c² se reescribe con a = 8 y c = 10: 8² + b² = 10². Se calcula: 64 + b² = 100. Se resta 64 a ambos lados (propiedad uniforme): b² = 36. Se toma la raíz cuadrada: b = √36 = 6 cm. El otro cateto mide 6 cm.

Demuestra usando el teorema de Pitágoras que un triángulo con lados 5, 12 y 13 es un triángulo rectángulo. Justifica identificando la posible hipotenusa y aplicando el recíproco.

Se identifica el lado más largo (13) como posible hipotenusa y se verifica a² + b² = c² con a = 5, b = 12, c = 13. Se calcula 5² + 12² = 25 + 144 = 169, y 13² = 169. Como la igualdad se cumple, por el recíproco del teorema el triángulo es rectángulo, con el ángulo recto opuesto al lado de longitud 13.

Según el diagrama de arriba, el triángulo rectángulo tiene catetos a y b e hipotenusa c. Si a = 6 y b = 8, calcula c usando la fórmula del teorema y justifica cada paso.

Se aplica a² + b² = c² con a = 6 y b = 8: 6² + 8² = c², lo cual produce 36 + 64 = c², de donde c² = 100. Se toma la raíz cuadrada: c = √100 = 10. La hipotenusa mide 10 unidades. El resultado coincide con el triángulo 6-8-10, múltiplo del clásico 3-4-5.