Sistemas de ecuaciones MAT-G8-DBA2

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente. En un sistema 2×2 con variables x e y, la solución es el par ordenado (x, y) que cumple ambas ecuaciones. Estos sistemas modelan situaciones con varias restricciones en economía y ciencias.

Existen tres métodos algebraicos. El método de sustitución despeja una variable en una ecuación y sustituye la expresión obtenida en la otra. El método de igualación despeja la misma variable en ambas y, al igualar las expresiones, produce una ecuación con una sola incógnita. El método de eliminación multiplica las ecuaciones por constantes adecuadas y luego las suma o resta para eliminar una variable. Los tres conducen al mismo par ordenado.

Considérese el sistema 2x + y = 7 y x − y = 2. Se aplica el método de sustitución: de la segunda ecuación se despeja x = y + 2; este valor se sustituye en la primera, obteniéndose 2(y + 2) + y = 7, que se simplifica a 3y + 4 = 7 y produce y = 1. Volviendo al despeje, se obtiene x = 3. La solución es (3, 1). El lector observa que al reemplazar (3, 1) en ambas ecuaciones se confirma: 2(3) + 1 = 7 y 3 − 1 = 2.

Geométricamente, cada ecuación representa una recta en el plano cartesiano y la solución corresponde al punto de intersección. Se distinguen tres casos. Cuando las rectas se cortan en un único punto, el sistema se denomina sistema compatible determinado. Cuando son paralelas y no se cortan, el sistema no tiene solución y se denomina sistema incompatible. Cuando ambas representan la misma recta, existen infinitas soluciones y el sistema se denomina compatible indeterminado.

Práctica

Resuelve el sistema 3x + 2y = 12 y x − y = 1 usando el método de eliminación. Indica cada paso: qué multiplicar, qué sumar y cómo despejar la segunda variable.

Se multiplica la segunda ecuación por 2 para igualar el coeficiente de y: 2x − 2y = 2. Se suma con la primera (3x + 2y = 12) para eliminar y: 5x = 14, de donde x = 14/5. Se sustituye en x − y = 1, lo cual produce y = 9/5. La solución es (14/5, 9/5).

Demuestra que el sistema 2x + 4y = 6 y x + 2y = 3 tiene infinitas soluciones. Justifica usando la relación entre las ecuaciones.

La primera ecuación es el doble de la segunda: al dividir 2x + 4y = 6 entre 2 se obtiene x + 2y = 3. Ambas representan la misma recta, y cualquier par (x, y) que satisfaga una satisface también la otra. Estos sistemas se denominan compatibles indeterminados.

Según la gráfica de arriba, las dos rectas se intersecan en un único punto. Identifica las coordenadas y verifica que ese par satisface ambas ecuaciones.

El punto de intersección es (3, 1). Al sustituir en la primera ecuación: 2(3) + 1 = 7, igualdad correcta. Al sustituir en la segunda: 3 − 1 = 2, también correcta. Por lo tanto (3, 1) es la solución única del sistema.