Triángulos y congruencia MAT-G8-DBA4

Dos triángulos son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir, cuando sus lados correspondientes tienen igual longitud y sus ángulos correspondientes tienen igual medida, independientemente de la posición u orientación en el plano. La congruencia se denota con el símbolo ≅: la expresión △ABC ≅ △DEF significa que AB = DE, BC = EF, AC = DF (lados correspondientes) y ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F (ángulos correspondientes).

Verificar las seis correspondencias en cada caso resultaría innecesariamente laborioso. La geometría formal establece tres criterios de congruencia suficientes: si se cumple uno de ellos, la congruencia queda demostrada. El criterio LLL (Lado-Lado-Lado) afirma que si los tres pares de lados correspondientes son iguales, los triángulos son congruentes. El criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado) exige dos pares de lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos igual. El criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo) exige dos pares de ángulos iguales y el lado comprendido entre ellos igual.

Considérense dos triángulos △ABC y △DEF cuyas medidas son: AB = 5 cm, BC = 7 cm, AC = 9 cm, y DE = 5 cm, EF = 7 cm, DF = 9 cm. Se observa que los tres lados de △ABC son iguales a los tres lados correspondientes de △DEF. Se aplica el criterio LLL y se concluye △ABC ≅ △DEF. El lector observa que de esta congruencia se sigue automáticamente la igualdad de los ángulos correspondientes, sin necesidad de medirlos directamente.

La congruencia es la base de la demostración geométrica y del razonamiento deductivo. A partir de unas pocas hipótesis sobre lados y ángulos, se deducen igualdades sobre los demás elementos del triángulo. Esta forma de razonamiento, central en las pruebas Saber 11, prepara para la geometría euclidiana formal estudiada en grados superiores.

Práctica

Dos triángulos △PQR y △XYZ tienen las medidas PQ = 4 cm, ∠Q = 60°, QR = 5 cm, y XY = 4 cm, ∠Y = 60°, YZ = 5 cm. Determina si son congruentes e indica qué criterio aplica.

Se identifican dos pares de lados iguales (PQ = XY = 4, QR = YZ = 5) y el ángulo comprendido entre ellos igual (∠Q = ∠Y = 60°). Se aplica el criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado) y se concluye △PQR ≅ △XYZ.

Demuestra que dos triángulos equiláteros con el mismo perímetro son congruentes. Justifica usando un criterio de congruencia y la definición de triángulo equilátero.

En todo triángulo equilátero los tres lados tienen igual longitud, por lo que cada lado mide perímetro/3. Si ambos triángulos tienen el mismo perímetro P, cada uno tiene los tres lados de longitud P/3, idénticos en pares. Se aplica el criterio LLL y se concluye que los triángulos son congruentes.

Según el diagrama de arriba, los triángulos △ABC y △DEF tienen sus tres pares de lados marcados como iguales. Identifica el criterio que se aplica y enuncia la congruencia con la notación correcta.

Las tildes indican AB = DE, BC = EF y AC = DF: los tres pares de lados correspondientes son iguales. Se aplica el criterio LLL (Lado-Lado-Lado) y se enuncia △ABC ≅ △DEF.