Ecuaciones lineales MAT-G8-DBA1

Una ecuación lineal es una igualdad algebraica en la que aparece una incógnita elevada a la primera potencia. La solución de la ecuación es el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad. Las ecuaciones lineales constituyen la herramienta básica del álgebra aplicada y modelan situaciones de variación proporcional en economía, física y ciencias sociales.

Para resolverlas se aplican las propiedades de la igualdad. La propiedad uniforme establece que al sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados por la misma cantidad (no nula en los dos últimos casos), la igualdad se preserva. La propiedad cancelativa complementa este principio: si dos términos iguales aparecen a ambos lados, se suprimen simultáneamente sin alterar la solución. Estas propiedades formalizan los pasos intuitivos de despeje aprendidos en Grado 7.

Considérese la ecuación 2x + 3 = 11. Se aplica la propiedad uniforme restando 3 a ambos lados: 2x + 3 − 3 = 11 − 3, que se simplifica a 2x = 8. Luego se divide ambos lados entre 2: 2x/2 = 8/2, lo cual produce x = 4. La solución es x = 4. El lector observa que al reemplazar este valor en la ecuación original se obtiene 2(4) + 3 = 11, confirmación de que la igualdad se cumple.

Geométricamente, la solución corresponde al valor de x donde dos rectas se intersecan en el plano cartesiano. Si el lado izquierdo se interpreta como la recta y = 2x + 3 y el lado derecho como la recta horizontal y = 11, ambas se cortan en el punto (4, 11), como se ilustra en el diagrama. Esta lectura conecta el álgebra con la geometría analítica.

Práctica

Resuelve la ecuación 5x − 7 = 3x + 9 paso a paso, indicando explícitamente qué propiedad de igualdad se aplica en cada paso.

Se aplica la propiedad uniforme restando 3x a ambos lados: 5x − 3x − 7 = 9, que se simplifica a 2x − 7 = 9. Se aplica nuevamente la propiedad uniforme sumando 7 a ambos lados: 2x = 16. Se aplica la propiedad uniforme dividiendo ambos lados entre 2: x = 8. La solución es x = 8.

Demuestra que la ecuación 4x + 6 = 2(2x + 3) tiene infinitas soluciones. Justifica usando las propiedades de igualdad y la definición de igualdad algebraica.

Al aplicar la propiedad distributiva en el lado derecho se obtiene 4x + 6 = 4x + 6, una igualdad que es verdadera para cualquier valor de x. Cuando ambos lados de una ecuación lineal se simplifican a la misma expresión, todo número real satisface la igualdad. Estas ecuaciones se denominan identidades y tienen infinitas soluciones.

Según la gráfica de arriba, identifica las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas y explica por qué la coordenada x de ese punto coincide con la solución algebraica de la ecuación 2x + 3 = 11.

El punto de intersección es (4, 11). La coordenada x es 4, valor que coincide con la solución algebraica. Esto sucede porque en el punto de intersección las dos expresiones que definen las rectas (2x + 3 y 11) toman el mismo valor; precisamente esta condición define la ecuación 2x + 3 = 11.