Geometría del plano MAT-G9-DBA3

La geometría del plano estudia las figuras planas y sus relaciones: triángulos clasificados por lados (equilátero, isósceles, escaleno) y por ángulos (acutángulo, rectángulo, obtusángulo), cuadriláteros, polígonos regulares y círculos. Sobre esta base se construyen los conceptos de semejanza y trigonometría introductoria.

Dos figuras se denominan semejantes cuando tienen la misma forma y posiblemente distinto tamaño. En triángulos, la semejanza △ABC ~ △DEF se cumple si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales con un mismo factor de escala k. Si k = 2, cada lado de △DEF mide el doble de su correspondiente en △ABC. La semejanza preserva los ángulos, escala los perímetros por k y las áreas por k².

En un triángulo rectángulo (uno de sus ángulos mide 90°), el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos se llaman catetos. Dado un ángulo agudo θ, el cateto frente a θ se llama cateto opuesto y el contiguo se llama cateto adyacente. Las razones trigonométricas del ángulo θ se definen como cocientes: sin θ = opuesto / hipotenusa, cos θ = adyacente / hipotenusa, tan θ = opuesto / adyacente. El acrónimo SOH-CAH-TOA sintetiza las tres definiciones.

Estas razones dependen solo del ángulo θ y no del tamaño del triángulo, gracias a la semejanza: dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo θ son semejantes, y por la proporcionalidad de sus lados, los cocientes que definen sin θ, cos θ y tan θ resultan iguales en ambos. Para los ángulos especiales se obtienen los valores exactos sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tan 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2.

Como ejemplo, un triángulo con catetos 3 y 4 tiene hipotenusa 5 por el teorema de Pitágoras. Si θ está frente al cateto 3, entonces sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4.

Práctica

En un triángulo rectángulo con un ángulo de 60°, la hipotenusa mide 10. Calcula la longitud de los dos catetos usando las razones trigonométricas exactas.

El cateto opuesto a 60° satisface sin 60° = opuesto / 10, es decir √3/2 = opuesto / 10, por tanto opuesto = 5√3 ≈ 8.66. El adyacente satisface cos 60° = adyacente / 10 = 1/2, por tanto adyacente = 5. Verificación por Pitágoras: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10².

Argumenta por qué el factor de escala k entre dos triángulos semejantes preserva los ángulos pero escala los lados. ¿Qué relación cumple el cociente entre sus áreas?

La semejanza se define exigiendo igualdad de ángulos correspondientes y proporcionalidad de lados con razón k; por construcción los ángulos quedan invariantes mientras los lados se multiplican por k. El área de un polígono depende del producto de dos longitudes (base por altura, en triángulos), de modo que al escalar ambas longitudes por k, el área queda multiplicada por k². Si k = 2, el área del triángulo grande es cuatro veces la del pequeño.

Según los triángulos semejantes de arriba, identifica el factor de escala k. Si el área de △ABC es 6, calcula el área de △DEF usando la propiedad del cuadrado de k.

La razón entre lados correspondientes es 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2, por tanto k = 2. Las áreas se relacionan por el cuadrado del factor de escala: área(△DEF) = k² · área(△ABC) = 4 · 6 = 24. Se verifica directamente: △DEF tiene catetos 6 y 8, área = (6 · 8)/2 = 24.