Ecuaciones cuadráticas MAT-G9-DBA2

Un polinomio en una variable es una expresión de la forma P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀, donde los aᵢ son reales y n es un entero no negativo llamado grado. El coeficiente líder es aₙ y el término independiente es a₀. Un polinomio de grado 2 con tres términos no nulos se denomina trinomio cuadrático.

Una ecuación cuadrática se escribe en la forma estándar ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. La función cuadrática asociada es f(x) = ax² + bx + c, cuya gráfica es una parábola. Las soluciones de la ecuación, llamadas raíces del polinomio, se obtienen mediante la fórmula cuadrática x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a.

El discriminante Δ = b² - 4ac determina la naturaleza de las raíces. Si Δ es positivo existen dos raíces reales distintas; si Δ es cero existe una raíz real doble; si Δ es negativo las soluciones son complejas, tema desarrollado en grado once. La factorización de un trinomio con raíces x₁ y x₂ adopta la forma f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

La parábola tiene un punto extremo llamado vértice de coordenadas (h, k) con h = -b/(2a) y k = f(h). La recta vertical x = h se denomina eje de simetría: cada punto de la parábola tiene su reflejo respecto de esta recta. Si a es positivo abre hacia arriba y el vértice es un mínimo; si a es negativo abre hacia abajo y es un máximo. La forma de vértice f(x) = a(x − h)² + k expresa la posición del vértice.

Como ejemplo, x² − 5x + 6 = 0 tiene a = 1, b = -5, c = 6, discriminante Δ = 1 y raíces x₁ = 2, x₂ = 3. La forma factorizada es (x − 2)(x − 3) = 0; el vértice se ubica en (5/2, -1/4).

Práctica

Resuelve la ecuación 2x² − 7x + 3 = 0 mediante la fórmula cuadrática. Identifica a, b, c; calcula el discriminante; y simplifica las raíces.

Se identifica a = 2, b = -7, c = 3. El discriminante es Δ = (-7)² − 4(2)(3) = 49 − 24 = 25. Las raíces son x = (7 ± √25) / 4 = (7 ± 5) / 4. Por tanto x₁ = 12/4 = 3 y x₂ = 2/4 = 1/2. Existen dos raíces reales distintas porque el discriminante es positivo.

Explica por qué la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 tiene exactamente 0, 1, o 2 soluciones reales según el signo del discriminante Δ = b² − 4ac. Justifica usando la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática contiene la expresión √Δ. Si Δ es positivo, √Δ es un número real positivo y la fórmula entrega dos raíces distintas, x = (-b + √Δ) / 2a y x = (-b − √Δ) / 2a. Si Δ = 0, ambas raíces coinciden en x = -b/(2a), una raíz real doble. Si Δ es negativo, √Δ no existe en ℝ y la ecuación carece de raíces reales.

Según la parábola de arriba, identifica el vértice, las raíces y el discriminante. ¿Cuál es la ecuación cuadrática asociada en forma factorizada?

La gráfica muestra raíces x₁ = 2 y x₂ = 3 sobre el eje horizontal y el vértice en (5/2, -1/4). El discriminante es Δ = (-5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1, positivo, lo cual confirma las dos raíces reales distintas observadas. La forma factorizada es f(x) = (x − 2)(x − 3); al expandir se recupera x² − 5x + 6.