Transformaciones MAT-G9-DBA4

Una transformación geométrica en el plano es una función T: ℝ² → ℝ² que asigna a cada punto P un único punto T(P). Las transformaciones rígidas, también llamadas isometrías, preservan distancias: la figura imagen tiene los mismos ángulos, longitudes y área que la original. Las tres rígidas fundamentales son traslación, rotación y reflexión.

La traslación desplaza cada punto un mismo vector (a, b), de modo que (x, y) se mapea en (x + a, y + b). La forma no cambia; solo se reubica. La rotación alrededor del origen por un ángulo θ mapea (x, y) en (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). Cuando el centro no es el origen, la fórmula se ajusta trasladando primero el centro al origen, rotando y trasladando de regreso. La reflexión sobre una recta actúa como un espejo: sobre el eje x mapea (x, y) en (x, -y); sobre el eje y mapea (x, y) en (-x, y).

La dilatación u homotecia desde un centro C con razón k mapea cada punto P en P' alineado con C tal que CP' = k · CP. Desde el origen, (x, y) se mapea en (kx, ky). Cuando k es distinto de ±1, modifica las distancias y no es rígida; sin embargo, conserva los ángulos y produce una figura semejante a la original con factor de escala |k|.

La composición consiste en aplicar una transformación seguida de otra. La composición de dos reflexiones sobre ejes paralelos equivale a una traslación; sobre ejes que se cortan, equivale a una rotación alrededor del punto de intersección.

Como ejemplo, T(x, y) = (x + 3, y − 2) lleva P(1, 4) a T(P) = (4, 2). La reflexión sobre el eje x lleva (1, 4) a (1, -4). La rotación de 90° antihoraria alrededor del origen lleva (1, 4) a (-4, 1), aplicando la fórmula con cos 90° = 0 y sin 90° = 1.

Práctica

Aplica la traslación T(x, y) = (x − 4, y + 3) al triángulo de vértices A(2, 1), B(5, 1), C(3, 4). Calcula las coordenadas del triángulo imagen y verifica que las distancias entre vértices se conservan.

T(A) = (2−4, 1+3) = (-2, 4); T(B) = (1, 4); T(C) = (-1, 7). Distancia AB = √((5−2)² + 0²) = 3; distancia T(A)T(B) = √((1−(-2))² + 0²) = 3. Distancia AC = √(1+9) = √10; distancia T(A)T(C) = √(1+9) = √10. Las distancias coinciden, lo cual confirma que la traslación es una transformación rígida.

Explica por qué la composición de dos reflexiones sobre dos ejes paralelos equivale a una traslación. ¿Cuál es el vector de la traslación si los ejes están separados por una distancia d?

Cada reflexión conserva distancia perpendicular al eje. Al aplicar dos reflexiones sobre ejes paralelos, la figura queda desplazada al mismo lado original pero alejada. El desplazamiento neto es perpendicular a los ejes, con magnitud 2d, dirigido del primer eje al segundo.

Según los cuatro paneles de arriba, identifica cuál transformación NO preserva el área del triángulo original. Justifica con la definición de transformación rígida.

La dilatación con k = 2 no preserva el área: al escalar las longitudes por k, el área queda multiplicada por k² = 4. Las tres primeras transformaciones (traslación, rotación y reflexión) son rígidas y conservan distancias, ángulos y áreas. La dilatación conserva ángulos pero no distancias, por lo cual queda fuera del conjunto de transformaciones rígidas y produce una figura semejante en lugar de congruente.