Funciones MAT-G9-DBA1

Una función es una correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B. El conjunto A se denomina dominio y el conjunto B se denomina codominio. El subconjunto de B formado por los elementos efectivamente alcanzados por la función se denomina rango o imagen. Se denota f: A → B, y la imagen del elemento x se escribe f(x), que se lee "f de x". El elemento x se llama variable independiente y el valor f(x) se llama variable dependiente.

La definición exige unicidad: a cada valor del dominio le corresponde exactamente un valor del rango. Una relación que asocia a un mismo x dos imágenes distintas no es una función. La prueba gráfica de la recta vertical traduce esta condición a la gráfica: si toda recta vertical corta la curva en a lo sumo un punto, la curva representa una función.

Las funciones se representan de varias maneras: mediante una fórmula algebraica, una tabla de valores, una gráfica en el plano cartesiano, o una descripción verbal. Por ejemplo, la función f(x) = 2x + 3 tiene como dominio ℝ y como rango ℝ; el valor f(4) = 2(4) + 3 = 11. La función g(x) = √x está definida sobre el dominio [0, +∞) porque la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real; su rango también es [0, +∞).

Cuando una función nunca repite imágenes para entradas distintas, se denomina función inyectiva; cuando alcanza todo el codominio, se denomina función sobreyectiva; cuando cumple ambas condiciones se denomina función biyectiva. La composición de funciones asocia dos funciones f y g en una nueva función (f ∘ g)(x) = f(g(x)), donde el rango de g debe estar contenido en el dominio de f.

Práctica

Dada la función f(x) = 3x² − 2x + 1, calcula f(0), f(2), f(−1) y f(1/2). Justifica cada cálculo paso a paso.

f(0) = 3(0)² − 2(0) + 1 = 1. f(2) = 3(4) − 2(2) + 1 = 12 − 4 + 1 = 9. f(−1) = 3(1) − 2(−1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6. f(1/2) = 3(1/4) − 2(1/2) + 1 = 3/4 − 1 + 1 = 3/4. Cada paso sustituye x por el valor indicado y aplica la jerarquía de operaciones.

Explica por qué la relación que asocia a cada número real su raíz cuadrada NO es una función sobre ℝ. ¿Cuál es el subconjunto del dominio donde sí define una función?

La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, por lo cual la relación queda indefinida cuando x es menor que cero; además, si se admitieran las dos raíces, un valor positivo de x tendría dos imágenes (la raíz positiva y la negativa), violando la unicidad. Restringiendo el dominio a [0, +∞) y tomando la raíz no negativa, la relación define la función f(x) = √x con rango [0, +∞).

Según la gráfica de arriba, identifica el dominio y el rango de la función parabólica roja g(x) = x². ¿Es g inyectiva sobre todo su dominio? Justifica la respuesta.

El dominio de g es ℝ y su rango es [0, +∞) porque g nunca toma valores negativos. La función no es inyectiva sobre ℝ: g(−2) = g(2) = 4, es decir, dos valores distintos del dominio comparten la misma imagen. La gráfica muestra que toda recta horizontal con y mayor que cero corta la parábola en dos puntos, confirmando la falta de inyectividad.