Vectores MAT-G10-DBA2

Un vector es un objeto matemático con dos atributos: una magnitud (longitud no negativa) y una dirección (orientación con respecto a un eje). Geométricamente se representa como una flecha; algebraicamente se expresa mediante sus componentes sobre los ejes coordenados.

En ℝ², un vector v se denota v = ⟨vₓ, vᵧ⟩, →v o v. Las componentes son las proyecciones sobre los ejes x e y. La magnitud, denotada |v|, se obtiene por Pitágoras: |v| = √(vₓ² + vᵧ²). Por ejemplo, u = ⟨3, 4⟩ tiene magnitud |u| = √25 = 5. La dirección se determina por el ángulo θ con el eje x positivo, calculable como tan θ = vᵧ/vₓ.

La suma de vectores se define componente a componente: u + v = ⟨uₓ + vₓ, uᵧ + vᵧ⟩, y geométricamente se interpreta por la regla del paralelogramo. La multiplicación por un escalar k da k·v = ⟨k·vₓ, k·vᵧ⟩; si k es negativo el sentido se invierte.

Cuando |v| = 1, v se llama vector unitario. Los unitarios canónicos son î = ⟨1, 0⟩ y ĵ = ⟨0, 1⟩, de modo que v = vₓ î + vᵧ ĵ. Para v ≠ 0, el unitario asociado es v̂ = v/|v|.

El producto escalar, o producto punto, asocia a dos vectores un número real. Se define u · v = uₓvₓ + uᵧvᵧ y, geométricamente, u · v = |u| |v| cos θ, con θ el ángulo entre ambos. De allí se desprende que dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si u · v = 0, pues cos(π/2) = 0.

Como ejemplo, dados u = ⟨3, 4⟩ y v = ⟨1, 2⟩, se obtiene u + v = ⟨4, 6⟩ y u · v = 3·1 + 4·2 = 11. Con |u| = 5 y |v| = √5, el ángulo satisface cos θ = 11/(5√5) ≈ 0.984, lo que arroja θ ≈ 10.3°. Los vectores modelan desplazamientos, velocidades y fuerzas.

Práctica

Dados los vectores u = ⟨2, −3⟩ y v = ⟨−1, 4⟩, calcula: (a) u + v; (b) 3u − 2v; (c) |u|; (d) u · v. Muestra cada paso.

(a) u + v = ⟨2 + (−1), −3 + 4⟩ = ⟨1, 1⟩. (b) 3u = ⟨6, −9⟩, 2v = ⟨−2, 8⟩, entonces 3u − 2v = ⟨6 − (−2), −9 − 8⟩ = ⟨8, −17⟩. (c) |u| = √(4 + 9) = √13. (d) u · v = 2·(−1) + (−3)·4 = −2 − 12 = −14, lo cual indica un ángulo obtuso entre u y v.

Argumenta por qué el producto escalar de dos vectores no nulos perpendiculares es cero. Justifica usando la fórmula geométrica u · v = |u| |v| cos θ.

Si u y v son perpendiculares, el ángulo entre ambos vectores es θ = π/2 radianes (90°). Como cos(π/2) = 0, la fórmula geométrica u · v = |u| |v| cos θ se reduce a u · v = |u| |v| · 0 = 0. La implicación es equivalente: si u y v son no nulos y u · v = 0, entonces necesariamente cos θ = 0, lo que obliga a θ = π/2 y, por lo tanto, a la perpendicularidad.

Según el diagrama vectorial de arriba, identifica gráficamente la suma u + v aplicando la regla del paralelogramo. Calcula su magnitud y compárala con |u| + |v|.

La diagonal roja desde el origen hasta el extremo opuesto del paralelogramo construido por u y v representa u + v = ⟨8, 6⟩, cuya magnitud es |u + v| = √(64 + 36) = √100 = 10. Como |u| = 5 y |v| = √29 ≈ 5.39, la suma |u| + |v| ≈ 10.39 es mayor que |u + v| = 10, lo cual ilustra la desigualdad triangular: |u + v| ≤ |u| + |v|.