Trigonometría MAT-G10-DBA1

La trigonometría estudia las relaciones entre ángulos y longitudes en figuras geométricas y extiende esas relaciones al círculo unitario para modelar fenómenos periódicos. El círculo unitario es la circunferencia centrada en el origen del plano cartesiano con radio uno, cuya ecuación es x² + y² = 1. Para cada ángulo θ medido desde el eje x positivo en sentido antihorario, el punto correspondiente sobre el círculo tiene coordenadas (cos θ, sin θ).

A partir de esta construcción se definen las seis funciones trigonométricas: sin θ = y, cos θ = x, tan θ = y/x (siempre que x ≠ 0), csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ y cot θ = x/y. Cada una asigna a un ángulo un número real y su signo depende del cuadrante. Los radianes son la medida natural de los ángulos en el análisis: un radián equivale al ángulo central cuyo arco subtendido tiene longitud igual al radio. Una vuelta completa corresponde a 2π radianes o 360 grados sexagesimales, y la equivalencia es π rad = 180°.

Los ángulos especiales del primer cuadrante poseen valores exactos. En π/6 = 30°, el punto terminal es (√3/2, 1/2), de donde sin(π/6) = 1/2 y cos(π/6) = √3/2. En π/4 = 45°, el punto es (√2/2, √2/2). En π/3 = 60°, el punto es (1/2, √3/2). Por simetría sobre los demás cuadrantes se obtienen los valores restantes.

De la ecuación del círculo unitario se deriva la identidad trigonométrica pitagórica: sin²θ + cos²θ = 1, válida para todo θ. La identidad complementaria sin(π/2 − θ) = cos θ refleja la simetría axial, y la del ángulo doble se enuncia sin 2θ = 2 sin θ cos θ.

Las funciones sin y cos son periódicas con período 2π, mientras que tan tiene período π. La amplitud de y = A sin(Bx + C) es |A|, su período es 2π/|B|, y el desplazamiento horizontal o fase es −C/B. Estos parámetros permiten modelar oscilaciones físicas como el sonido o las mareas.

Como ejemplo se resuelve sin θ = 1/2 sobre [0, 2π]: las soluciones tienen ordenada 1/2, lo que da θ = π/6 en el primer cuadrante y θ = π − π/6 = 5π/6 en el segundo. El conjunto solución es {π/6, 5π/6}.

Práctica

Resuelve la ecuación sin θ = √2/2 sobre el intervalo [0, 2π]. Identifica todos los ángulos del intervalo que satisfacen la ecuación y justifica el resultado mediante el círculo unitario.

Los puntos del círculo unitario con ordenada √2/2 corresponden a θ = π/4 en el primer cuadrante y a θ = π − π/4 = 3π/4 en el segundo cuadrante, donde el seno mantiene signo positivo. El conjunto solución sobre [0, 2π] es {π/4, 3π/4}, ya que en los cuadrantes tercero y cuarto la ordenada del punto terminal es negativa.

Argumenta por qué la identidad sin²θ + cos²θ = 1 se cumple para cualquier valor de θ. Usa la ecuación del círculo unitario como punto de partida.

Para todo ángulo θ, el punto terminal sobre el círculo unitario tiene coordenadas (cos θ, sin θ) y satisface la ecuación del círculo x² + y² = 1. Sustituyendo x = cos θ y y = sin θ se obtiene cos²θ + sin²θ = 1, expresión válida para cualquier θ porque toda terminal del ángulo cae sobre la circunferencia de radio uno.

Según el círculo unitario de arriba, identifica las coordenadas exactas del punto correspondiente a 2π/3 = 120°. Calcula sin(2π/3), cos(2π/3) y tan(2π/3) justificando con la simetría del cuadrante.

El ángulo 2π/3 cae en el segundo cuadrante, donde el coseno es negativo y el seno positivo. Por la simetría con π/3, el punto terminal es (−1/2, √3/2). Entonces sin(2π/3) = √3/2, cos(2π/3) = −1/2 y tan(2π/3) = (√3/2)/(−1/2) = −√3.