Funciones exponenciales y logarítmicas MAT-G10-DBA3

La función exponencial de base a se define como f(x) = aˣ, donde a es un número real con a > 0 y a ≠ 1. Su dominio es ℝ y su rango es (0, +∞); la función siempre toma valores estrictamente positivos. Se cumple f(0) = 1 para cualquier base a admisible, lo que sitúa a la gráfica pasando por el punto (0, 1).

El comportamiento global depende del valor de la base. Si a > 1, la función es estrictamente creciente y modela un crecimiento exponencial (poblaciones, interés compuesto). Si 0 < a < 1, la función es estrictamente decreciente y modela un decaimiento exponencial (desintegración radiactiva, enfriamiento). La recta y = 0 actúa como asíntota horizontal en ambos casos, pero por extremos opuestos del dominio.

Un caso de gran interés es la base e ≈ 2.71828, conocida como número de Euler. La función f(x) = eˣ aparece de manera natural en el cálculo y en los modelos continuos de crecimiento. Por ejemplo, f(x) = 2ˣ produce f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 8, f(−1) = 1/2; cada incremento unitario en x duplica el valor, una propiedad característica del crecimiento exponencial de base 2.

La función logarítmica de base b, denotada log_b(x), se define como la inversa de la función exponencial bˣ, con b > 0 y b ≠ 1. La equivalencia fundamental es y = log_b(x) ⇔ x = bʸ. Su dominio es (0, +∞), su rango es ℝ, y la gráfica pasa por (1, 0) porque b⁰ = 1. La inversión geométrica se manifiesta como una reflexión sobre la recta y = x: las gráficas de bˣ y log_b(x) son simétricas respecto a esa diagonal.

El logaritmo natural ln(x) = log_e(x) emplea como base el número de Euler. Las identidades logarítmicas más útiles, válidas siempre que los argumentos sean positivos, son log(xy) = log x + log y, log(x/y) = log x − log y, y log(xⁿ) = n log x. Estas propiedades reducen productos y potencias a sumas, lo que históricamente facilitó cálculos antes de las calculadoras digitales.

La fórmula de cambio de base convierte cualquier logaritmo a la base más conveniente: log_b(x) = ln(x) / ln(b), o equivalentemente log_b(x) = log_{10}(x) / log_{10}(b). De esta forma, log_2(8) se calcula como ln(8)/ln(2) = 3, lo cual concuerda con la definición directa, dado que 2³ = 8.

Como aplicación, la ecuación 3ˣ = 81 se resuelve aplicando logaritmos a ambos miembros: log(3ˣ) = log(81), de donde x log 3 = log 81, y x = log 81 / log 3 = 4, pues 3⁴ = 81. Las funciones exponencial y logarítmica son herramientas centrales en biología, química, economía y tecnología.

Práctica

Resuelve la ecuación 5ˣ = 125 aplicando logaritmos. Muestra los pasos algebraicos y la justificación de cada uno.

Al aplicar log a ambos miembros se obtiene log(5ˣ) = log 125. Por la identidad log(xⁿ) = n log x, queda x log 5 = log 125, de donde x = log 125 / log 5. Como 125 = 5³, también log 125 = 3 log 5; sustituyendo, x = (3 log 5)/log 5 = 3. La solución se verifica directamente: 5³ = 125.

Argumenta por qué la función f(x) = log x no está definida para x ≤ 0. Usa la definición del logaritmo como inversa de la exponencial.

La función logarítmica de base b se define como la inversa de bˣ. Como bˣ con b > 0 sólo toma valores positivos para todo x ∈ ℝ, el rango de bˣ es (0, +∞). Al invertir la función, el rango original se convierte en el dominio de log_b, lo cual deja por fuera a cero y a los valores negativos. No existe ningún exponente real al cual elevar b > 0 para obtener cero o un valor negativo, por lo cual log_b(x) queda indefinido en ese subdominio.

Según las gráficas de arriba, identifica el punto de intersección entre la recta y = x y las curvas mostradas. ¿Cómo se relaciona la simetría con la propiedad de inversión?

La recta y = x es el eje de simetría: cada punto (a, b) de la gráfica azul f(x) = 2ˣ tiene su reflejo (b, a) en la gráfica roja g(x) = log₂ x. Por ejemplo, (0, 1) en f se refleja como (1, 0) en g. Esta simetría manifiesta geométricamente la relación de inversión, ya que para inversas la composición f(g(x)) = x reordena las coordenadas (x, y) en (y, x).