Cálculo diferencial intro MAT-G10-DBA4

El cálculo diferencial estudia la razón de cambio instantánea de una función con respecto a su variable independiente. La derivada de una función f en un punto x se define como el límite de la pendiente de las rectas secantes cuando el segundo punto se aproxima al primero. Geométricamente, la derivada coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f(x)).

Considérese una función f definida y continua en un intervalo abierto que contiene a x. La recta secante que pasa por (x, f(x)) y (x + h, f(x + h)) tiene pendiente (f(x + h) − f(x)) / h. A medida que h tiende a cero, la recta secante se aproxima a la recta tangente y su pendiente se aproxima a la derivada de f en x. Formalmente:

La derivada admite dos notaciones equivalentes: f'(x) y dy/dx. Cuando el límite existe en x, se dice que f es diferenciable en ese punto. La diferenciabilidad implica continuidad, pero el recíproco falla: una función puede ser continua y no diferenciable. El caso paradigmático es f(x) = |x| en x = 0, donde las pendientes secantes por la izquierda (−1) y por la derecha (+1) discrepan.

Como aplicación directa, considérese f(x) = x². El cociente incremental es (f(x + h) − f(x))/h = ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h. Al tomar el límite cuando h tiende a cero, el segundo sumando desaparece y queda f'(x) = 2x. La pendiente de la tangente a y = x² en x = 1 es, por consiguiente, 2.

La regla de la potencia generaliza este resultado: si f(x) = xⁿ con n real, entonces f'(x) = n xⁿ⁻¹. Las reglas de la suma (f + g)' = f' + g', del producto y del cociente forman el aparato operativo del cálculo diferencial; las derivaciones completas pertenecen al programa de Grado 11. Las derivadas de orden superior f''(x), f'''(x) se obtienen aplicando reiteradamente la derivación y describen aceleraciones, concavidades y otros refinamientos del comportamiento de f.

Práctica

Usando la definición formal, demuestra que la derivada de f(x) = 3x² + 5 es f'(x) = 6x. Identifica el cociente incremental, simplifica y calcula el límite paso a paso.

El cociente incremental es (f(x + h) − f(x))/h = (3(x + h)² + 5 − (3x² + 5))/h = (3x² + 6xh + 3h² − 3x²)/h = (6xh + 3h²)/h = 6x + 3h. Al tomar el límite cuando h tiende a cero, el término 3h desaparece y queda f'(x) = 6x. La constante 5 no aporta al cociente porque se anula al restar.

Argumenta por qué la función f(x) = |x| es continua en x = 0 pero no es diferenciable. Refiere las pendientes de las rectas secantes por la izquierda y por la derecha.

La función f(x) = |x| es continua en cero, ya que lim_{x→0} |x| = 0 = f(0). Sin embargo, la pendiente secante por la izquierda satisface (|0 + h| − |0|)/h = −1 para h negativo, mientras que por la derecha vale +1 para h positivo. Como ambos límites unilaterales discrepan, el límite definicional de la derivada no existe, y f deja de ser diferenciable en x = 0.

Según la gráfica de arriba, identifica geométricamente la pendiente de la recta tangente roja. ¿Cómo se relaciona con la recta secante naranja cuando h tiende a cero?

La recta tangente roja en (1, 1) tiene pendiente 2, que coincide con f'(1) = 2(1) = 2 por la regla de la potencia. La recta secante naranja conecta (1, 1) y (2, 4), por lo cual su pendiente es (4 − 1)/(2 − 1) = 3. A medida que el segundo punto se aproxima a (1, 1) reduciendo h, la pendiente secante 3 desciende hasta el valor límite 2, lo que ilustra geométricamente la definición de derivada.