Funciones lineales MAT-G8-DBA6

Una función es una relación que asigna a cada valor de entrada exactamente un valor de salida. La entrada se denomina variable independiente, usualmente x; la salida, variable dependiente, usualmente y. La notación f(x) se lee "f de x" y denota el valor de f cuando la entrada es x. El conjunto de entradas válidas se denomina dominio y el conjunto de salidas se denomina rango.

Una función lineal es una función cuya gráfica en el plano cartesiano es una recta. Su forma general, llamada forma pendiente-intercepto, es f(x) = mx + b, donde m es la pendiente (la razón de cambio de y respecto a x) y b es el intercepto en y, el valor de f en x = 0. La pendiente entre dos puntos de la recta se calcula como m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Si m es positiva la función crece; si m es negativa decrece; si m = 0 es constante. El dominio es ℝ y, salvo el caso constante, el rango también es ℝ.

Considérese la función f(x) = 2x + 3. La pendiente es m = 2 y el intercepto es b = 3, valor que coincide con f(0) = 3. Se evalúa la función en varios puntos: f(1) = 5, f(2) = 7, f(−1) = 1. El lector observa que la diferencia f(2) − f(1) = 2 coincide con la pendiente, lo cual confirma que el cambio en y por cada unidad de cambio en x es constante; esta es la característica definitoria de las funciones lineales.

Las funciones lineales modelan situaciones de variación a tasa constante: el costo total como función de la cantidad comprada a precio fijo, o la distancia recorrida como función del tiempo a velocidad constante. Constituyen, además, el punto de entrada al análisis matemático estudiado en grados superiores.

Práctica

Dada la función f(x) = −3x + 5, calcula f(0), f(2) y f(−1). Interpreta f(0) en términos del intercepto y compara f(2) con f(−1) para confirmar la pendiente.

Se evalúa: f(0) = 5; f(2) = −1; f(−1) = 8. El valor f(0) = 5 es el intercepto en y. La diferencia f(2) − f(−1) = −9, y la diferencia en x es 3; el cociente −9/3 = −3 coincide con la pendiente m = −3.

Justifica por qué la función g(x) = 4x − 7 es lineal. Identifica la pendiente y el intercepto, y argumenta usando la definición de función lineal.

La función g(x) = 4x − 7 tiene la forma mx + b con m = 4 y b = −7; toda expresión de esta forma define una función lineal y su gráfica es una recta. El cambio de g(x) por cada unidad de cambio en x es constante e igual a 4, característica definitoria de las funciones lineales.

Según la gráfica de arriba, la recta representa f(x) = 2x + 3. Identifica f(−1) leyendo la gráfica y verifica el resultado evaluando algebraicamente.

En la gráfica, cuando x = −1 la recta pasa por y = 1, es decir, f(−1) = 1. Algebraicamente: f(−1) = 2(−1) + 3 = 1. Ambos resultados coinciden, confirmando la lectura gráfica.