Números reales MAT-G9-DBA6

El conjunto de los números reales ℝ está formado por la unión de los números racionales ℚ y los números irracionales. Los racionales se expresan como un cociente a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0; los irracionales tienen representación decimal infinita y no periódica, como √2 ≈ 1.4142..., π ≈ 3.1416... y e ≈ 2.7183... Se cumple la cadena de inclusiones ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, donde cada conjunto contiene a los anteriores y aporta números nuevos: los enteros añaden los opuestos de los naturales y los reales completan la recta con los irracionales.

La recta numérica real representa geométricamente al conjunto ℝ. A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real, y recíprocamente. Esta correspondencia uno a uno se denomina propiedad de completitud y distingue a ℝ de ℚ: la recta de los racionales presenta "huecos" en las posiciones de los irracionales, mientras que la recta real no tiene huecos. La densidad establece que entre dos reales cualesquiera, por cercanos que sean, siempre existen infinitos racionales y infinitos irracionales.

Subconjuntos importantes de ℝ se describen mediante la notación de intervalo. Un intervalo cerrado [a, b] incluye los extremos; el intervalo abierto (a, b) los excluye; los semiabiertos [a, b) y (a, b] incluyen un extremo. Los intervalos infinitos se denotan con ∞: (-∞, b] contiene los reales menores o iguales que b, y [a, +∞) los mayores o iguales que a. El conjunto ℝ completo se escribe (-∞, +∞).

Como ejemplo, el número 0.333... tiene expansión decimal infinita pero periódica y se expresa como 1/3, por lo cual pertenece a ℚ. En cambio, √7 no admite representación como cociente de enteros; su expansión es infinita y no periódica, por lo cual pertenece al conjunto ℝ \ ℚ de los irracionales.

Práctica

Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales y justifica la respuesta: 3.14, √9, √7, 22/7, 0.333... Para cada uno, identifica el conjunto más restrictivo al que pertenece (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ \ ℚ).

3.14 = 314/100 ∈ ℚ (decimal finito). √9 = 3 ∈ ℕ. √7 ∈ ℝ \ ℚ porque 7 no es cuadrado perfecto y su raíz tiene expansión decimal infinita no periódica. 22/7 ∈ ℚ por definición de cociente de enteros. 0.333... = 1/3 ∈ ℚ porque su expansión decimal es periódica.

Demuestra mediante reducción al absurdo que √2 es irracional. Plantea la hipótesis de que √2 = p/q con p, q enteros coprimos y deriva una contradicción.

Supóngase que √2 = p/q con p y q coprimos. Elevando al cuadrado se obtiene 2 = p²/q², es decir p² = 2q², por lo cual p² es par y, por tanto, p es par; entonces p = 2k. Sustituyendo: (2k)² = 2q², es decir 4k² = 2q², lo cual implica q² = 2k² y q también es par. Como p y q son ambos pares, contradicen la hipótesis de coprimalidad. La hipótesis es falsa; √2 no es racional.

Según la recta real de arriba, ¿cuál de los irracionales mostrados está más cerca del entero 3? Calcula la distancia exacta como diferencia entre el irracional y el entero, y compárala con la distancia entre √2 y 1.

El irracional más cercano a 3 es π ≈ 3.1416; la distancia exacta es π − 3 ≈ 0.1416. La distancia entre √2 ≈ 1.4142 y 1 es √2 − 1 ≈ 0.4142, aproximadamente tres veces mayor que π − 3. Ambos resultados confirman que entre dos enteros consecutivos sobre la recta real existen infinitos irracionales a distancias arbitrarias.