Límites MAT-G10-DBA6

El límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a describe el valor L al que la función se aproxima arbitrariamente cuando x se acerca a a, sin necesidad de que f(a) esté definido ni de que f(a) coincida con L. La notación formal se escribe como sigue:

Existen dos enfoques complementarios. El límite por la izquierda, denotado lim_{x→a⁻} f(x), considera únicamente valores de x menores que a; el límite por la derecha, lim_{x→a⁺} f(x), considera únicamente valores mayores. El límite bilateral existe si y solo si ambos límites unilaterales existen y coinciden. La definición ε-δ formal queda como referencia futura del cálculo universitario.

Una función continua en x = a satisface la condición lim_{x→a} f(x) = f(a). Si esta condición falla porque f(a) no está definida o porque el límite difiere del valor de la función, se produce una discontinuidad evitable: redefiniendo o asignando un nuevo valor a f(a), la función se vuelve continua. Si los límites unilaterales discrepan, se produce una discontinuidad esencial, la cual no se corrige con una redefinición puntual.

Las leyes de límites simplifican el cálculo. Cuando los límites de f y g existen finitos en a, se cumple lim(f + g) = lim f + lim g, lim(f · g) = (lim f)·(lim g) y lim(f/g) = (lim f)/(lim g) siempre que lim g ≠ 0. Si f es continua, el límite se evalúa por sustitución directa: lim_{x→3} (2x + 5) = 11.

Cuando la sustitución directa produce una expresión sin valor numérico definido —0/0, ∞/∞, 0·∞— se habla de una forma indeterminada, y se requiere una manipulación algebraica adicional. Considérese la función f(x) = (x² − 4)/(x − 2). En x = 2, la sustitución directa arroja 0/0; sin embargo, al factorizar el numerador como (x − 2)(x + 2), la expresión se simplifica a x + 2 para todo x ≠ 2. Por consiguiente, lim_{x→2} f(x) = lim_{x→2} (x + 2) = 4. La gráfica muestra una discontinuidad evitable en x = 2: la curva coincide con la recta y = x + 2 salvo por un punto hueco en (2, 4).

Práctica

Calcula el límite lim_{x→3} (x² − 9)/(x − 3) mediante factorización. Identifica primero la forma indeterminada, luego factoriza el numerador y simplifica.

La sustitución directa arroja 0/0, una forma indeterminada. Al factorizar el numerador como (x − 3)(x + 3), la expresión se simplifica a x + 3 para todo x ≠ 3. Por lo tanto, lim_{x→3} (x² − 9)/(x − 3) = lim_{x→3} (x + 3) = 6. La cancelación es legítima porque el límite no exige evaluar la función exactamente en x = 3.

Argumenta intuitivamente por qué lim_{x→0} sin(x)/x = 1. Refiere la geometría del círculo unitario y el comportamiento del cociente cuando x es muy pequeño.

Cuando x es cercano a cero medido en radianes, el arco x sobre el círculo unitario y la longitud del segmento sin(x) se diferencian de manera despreciable, ya que ambos miden aproximadamente la misma longitud para ángulos pequeños. El cociente sin(x)/x tiende, por consiguiente, al valor uno. Geométricamente, el seno y el arco se confunden conforme el ángulo se reduce.

Según la gráfica de arriba, identifica el tipo de discontinuidad en x = 2. Calcula los límites unilaterales y justifica que el límite bilateral existe.

La gráfica muestra una **discontinuidad evitable** en x = 2: la curva coincide con la recta y = x + 2 salvo por un punto hueco. Los límites unilaterales son lim_{x→2⁻} f(x) = 4 y lim_{x→2⁺} f(x) = 4, ya que la curva se aproxima al mismo valor por ambos lados. Como ambos coinciden, el límite bilateral lim_{x→2} f(x) = 4 existe, aunque f(2) no esté definido.